Teorema de Thevenin - Ejercicios Resueltos

En esta ocasión vamos a platicar sobre el teorema de Thévenin, ya que es un tema muy importante cuando estudiamos el análisis de circuitos, especialmente para circuitos en corriente continua. Pues bien, el teorema de Thévenin es un método analítico utilizado principalmente para transformar un circuito complejo en un circuito equivalente simple que consiste en una sola resistencia en serie con una fuente de voltaje.

¿Qué es el Teorema de Thévenin? 💡

Entender el teorema de Thévenin no es complejo, sin embargo, requiere de hacer un análisis preciso de lo que se desea hacer. Thévenin estableció que "cualquier circuito lineal que contenga varios voltajes y resistencias puede ser reemplazado por una sola tensión en serie con una sola resistencia conectada a través de la carga".

Dicho en otras palabras, es posible simplificar cualquier circuito eléctrico, sin importar cuán complejo sea, a un circuito equivalente de dos terminales con una sola fuente de voltaje constante en serie con una resistencia (o impedancia) conectada a una carga.

El Teorema de Thévenin es muy útil especialmente en el análisis de circuitos de sistemas de alimentación o de batería y otros circuitos resistivos conectados entre sí, donde tendrá efecto en la parte contigua del circuito.

Circuito Equivalente de Thévenin (Paso a Paso)

Para entender mucho mejor el procedimiento, es necesario analizar el siguiente ejemplo:

Análisis General: Contamos con una fuente de 9 volts, tres resistencias de diferente valor: \(R_1 = 5\Omega\), \(R_2 = 12\Omega\) y finalmente una resistencia de carga \(R_L = 10\Omega\).

Vamos a encontrar el circuito equivalente de Thévenin visto desde las terminales de \(R_L\).

1. Retirar la resistencia de carga \(R_L\)Para comenzar el análisis, retiramos la resistencia de carga \(R_L\). Esto deja el circuito "abierto" en las terminales que llamaremos 'a' y 'b'.

   

2. Calcular la Resistencia de Thévenin (\(R_{Th}\))Una vez extraída la carga, "apagamos" las fuentes independientes. Las fuentes de voltaje se reemplazan por un cortocircuito (un cable) y las fuentes de corriente por un circuito abierto. En nuestro caso, la fuente de 9V se convierte en un corto.

   

   Mirando desde las terminales 'a' y 'b', podemos observar que \(R_1\) y \(R_2\) están en paralelo. La Resistencia de Thévenin (\(R_{Th}\)) es la resistencia equivalente de este arreglo:

   \[ {{R}_{Th}}=\frac{\left( 5\Omega \right)\left( 12\Omega \right)}{5\Omega +12\Omega }=\frac{60{{\Omega }^{2}}}{17\Omega }=3.53\Omega \]

3. Calcular el Voltaje de Thévenin (\(V_{Th}\))Ahora volvemos al circuito del Paso 1 (con la carga retirada, pero la fuente encendida). El Voltaje de Thévenin (\(V_{Th}\)) es el voltaje que medimos entre las terminales 'a' y 'b' (el voltaje de circuito abierto).

   Como no fluye corriente hacia la terminal 'a', el voltaje en 'a' es el mismo que el voltaje en el nodo superior. El voltaje en 'b' es tierra (0V). Por lo tanto, \(V_{Th}\) es simplemente el voltaje que cae en la resistencia \(R_2\). Podemos usar un divisor de voltaje:

   \[ {{V}_{Th}} = V_{ab} = V_{R2} = \frac{\left( {{R}_{2}} \right)\left( {{V}_{1}} \right)}{{{R}_{2}}+{{R}_{1}}}=\frac{\left( 12\Omega \right)\left( 9v \right)}{12\Omega +5\Omega }=6.35v \]

4. Dibujar el Circuito Equivalente y Calcular \(I_L\)¡Listo! Ya tenemos nuestro "estuche de herramientas". El circuito equivalente de Thévenin es la fuente \(V_{Th}\) en serie con la resistencia \(R_{Th}\). Ahora, volvemos a conectar nuestra resistencia de carga \(R_L\) a este nuevo y simple circuito:

   

   Si quisiéramos encontrar la corriente a través de la resistencia de carga \(I_L\), ahora es increíblemente fácil. Solo aplicamos la Ley de Ohm al circuito serie:

   \[ {{I}_{L}}=\frac{{{V}_{Th}}}{{{R}_{Th}}+{{R}_{L}}}=\frac{6.35v}{3.53\Omega +10\Omega }=0.47A \]

   La ventaja es que si \(R_L\) cambia, no tenemos que re-analizar todo el circuito complejo. Solo cambiamos el valor de \(R_L\) en esta simple fórmula final.

Ejercicios Resueltos de Thevenin ⚡️

1. Retirar la resistencia de carga \(R_L\)Eliminamos \(R_L\) (que vale \(15\Omega\)) para exponer las terminales 'a' y 'b'.

   

2. Calcular \(R_{Th}\)Apagamos las fuentes: la fuente de voltaje de 20V se vuelve un cortocircuito (cable) y la fuente de corriente de 3A se vuelve un circuito abierto (se elimina).

   

   Mirando desde las terminales 'a' y 'b', la única resistencia que queda en el camino es \(R_1\). Por lo tanto:

   \[ {{R}_{Th}}=20\Omega \]

3. Calcular \(V_{Th}\)Volvemos al circuito del Paso 1 (fuentes encendidas, carga retirada). Queremos el voltaje \(V_{ab} = V_{Th}\).

   Podemos aplicar una Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK) en la malla. El voltaje en la resistencia de 20Ω es \(V_{R1} = I \cdot R_1\). La corriente \(I\) que fluye por esa malla es dictada por la fuente de corriente y es de 3A (fluyendo en sentido antihorario).

   Si recorremos la malla desde 'b' hasta 'a':

   \(V_{ab} = V_{fuente} - V_{R1}\)

   El voltaje en la resistencia \(R_1\) es \(V_{R1} = (3A) \cdot (20\Omega) = 60V\). La polaridad es (+) a la derecha y (-) a la izquierda (porque la corriente entra por la derecha).

   Al hacer la LVK desde b (tierra) hasta a:

   \(V_b + 20V - 60V = V_a \)

   \( 0 + 20 - 60 = V_a \)

   \(V_a = -40V\). Por lo tanto, \(V_{ab} = V_a - V_b = -40V - 0V = -40V\).

   \[ {{V}_{Th}} = {{V}_{ab}} = 20v - \left( 20\Omega \right)\left( 3A \right)=-40v \]

   (El signo negativo solo indica que la terminal 'a' es 40V más negativa que la terminal 'b').

4. Dibujar Circuito Equivalente y Calcular \(I_L\)Dibujamos nuestro circuito con \(V_{Th} = -40V\) y \(R_{Th} = 20\Omega\). Reconectamos la carga \(R_L = 15\Omega\).

   

   Ahora, calculamos la corriente de carga \(I_L\). Usamos el valor absoluto del voltaje para encontrar la magnitud de la corriente:

   \[ {{I}_{L}}=\frac{|{{V}_{Th}}|
   }{{{R}_{Th}}+{{R}_{L}}} = \frac{40v}{20\Omega +15\Omega} = \frac{40v}{35\Omega} = 1.14A \]

   Y con ello tenemos el ejercicio resuelto 😎

Análisis del circuito:

• Una fuente de voltaje de \(9V\).
• Una resistencia \(R_1 = 3\Omega\).
• Una resistencia \(R_2 = 6\Omega\).
• Terminales \(a\) y \(b\) donde se conecta la carga \(R_L\).

1. Calcular \(V_{th}\) (Voltaje de Thévenin)Retiramos \(R_L\) y medimos el voltaje \(V_{ab}\). El circuito queda como un divisor de voltaje. El voltaje en las terminales \(a\) y \(b\) es el mismo que el voltaje que cae en la resistencia \(R_2\).

   \[ V_{th} = V_{ab} = V_{R2} = V_{fuente} \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} \]\[ V_{th} = 9V \cdot \frac{6\Omega}{3\Omega + 6\Omega} = 9V \cdot \frac{6\Omega}{9\Omega} = 6V \]

2. Calcular \(R_{th}\) (Resistencia de Thévenin)Apagamos la fuente de 9V (la reemplazamos por un cortocircuito). Mirando desde las terminales \(a\) y \(b\), vemos que \(R_1\) y \(R_2\) están ahora en paralelo.

   \[ R_{th} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{3\Omega \cdot 6\Omega}{3\Omega + 6\Omega} = \frac{18\Omega^2}{9\Omega} = 2\Omega \]

3. Circuito Equivalente y Cálculo de CorrientesNuestro circuito equivalente es una fuente \(V_{th} = 6V\) en serie con una resistencia \(R_{th} = 2\Omega\). Ahora, calculamos la corriente \(I_L\) para cada valor de \(R_L\) usando la fórmula:

   \[ I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L} \]

   Caso 1: \(R_L = 2\Omega\)

   \[ I_L = \frac{6V}{2\Omega + 2\Omega} = \frac{6V}{4\Omega} = 1.5A \]

   Caso 2: \(R_L = 10\Omega\)

   \[ I_L = \frac{6V}{2\Omega + 10\Omega} = \frac{6V}{12\Omega} = 0.5A \]

   Caso 3: \(R_L = 100\Omega\)

   \[ I_L = \frac{6V}{2\Omega + 100\Omega} = \frac{6V}{102\Omega} \approx 0.0588A \text{ (o 58.8mA)} \]

Conclusión

Sin duda, el teorema de Thévenin es una herramienta fantástica en el análisis de circuitos. Nos permite reducir cualquier red eléctrica lineal complicada a un circuito simple que consiste en una sola fuente de tensión (\(V_{Th}\)) en serie con una sola resistencia (\(R_{Th}\)).

Recordemos el procedimiento básico para resolver un circuito usando el Teorema de Thévenin:

1. Retirar la resistencia de carga \(R_L\) (o el componente de interés).
2. Encontrar la Resistencia de Thévenin (\(R_{Th}\)) "apagando" todas las fuentes independientes (cortos para voltaje, abiertos para corriente) y calculando la resistencia equivalente vista desde las terminales de la carga.
3. Encontrar el Voltaje de Thévenin (\(V_{Th}\)) volviendo a encender las fuentes y midiendo el voltaje de circuito abierto en las terminales de la carga.
4. Dibujar el circuito equivalente de Thévenin y volver a conectar la carga \(R_L\) para encontrar la corriente o voltaje deseado.