Inductancia y Reactancia Inductiva

Cuando se conecta a una fuente de alimentación de CA, la corriente que fluye a través de una bobina inductiva produce una fem autoinducida que se opone a las fem que inicialmente establecen la corriente. Para un circuito variable en el tiempo que contiene inductancia de CA, la bobina inductiva actúa como una impedancia que limita la cantidad de corriente variable en el tiempo que fluye en la bobina.

Los inductores almacenan su energía en forma de un campo magnético que se crea cuando se aplica una tensión a través de los terminales de un inductor. El crecimiento de la corriente que fluye a través del inductor no es instantáneo, sino que está determinado por el propio valor de la inducción o contrafase de los inductores. Entonces, para una bobina inductora, esta tensión de contrafase V_L  es proporcional a la tasa de cambio de la corriente que fluye a través de ella.

Esta corriente continuará aumentando hasta que alcance su condición máxima de estado estacionario que es alrededor de cinco constantes de tiempo cuando esta contrafase autoinducida haya decaído a cero. En este punto, una corriente de estado estable fluye a través de la bobina, no se induce más fuerza contraelectromotriz para oponerse al flujo de corriente y, por lo tanto, la bobina actúa más como un cortocircuito que permite que la corriente máxima fluya a través de ella.

Sin embargo, en un circuito de corriente alterna que contiene una inductancia de corriente alterna, el flujo de corriente a través de un inductor se comporta de forma muy diferente a la de un voltaje de corriente continua de estado estable. Ahora, en un circuito de corriente alterna, la oposición a la corriente que fluye a través de los devanados de la bobina no sólo depende de la inductancia de la bobina, sino también de la frecuencia de la forma de onda del voltaje aplicado, ya que varía de sus valores positivos a negativos.

La oposición real a la corriente que fluye a través de una bobina en un circuito de CA está determinada por la resistencia de CA de la bobina, siendo esta resistencia de CA representada por un número complejo. Pero para distinguir un valor de resistencia de CC de un valor de resistencia de CA, que también se conoce como Impedancia, se utiliza el término Reactancia.

Reactancia Inductiva

Al igual que la resistencia, la reactancia se mide en Ohmios pero se le da el símbolo "X" para distinguirla de un valor "R" puramente resistivo y como el componente en cuestión es un inductor, la reactancia de un inductor se llama Reactancia Inductiva, ( X_L ) y se mide en Ohmios. Su valor se puede encontrar a partir de la fórmula.

Dónde:

X_L = Reactancia inductiva en ohmios, (Ω)

π(pi) = una constante numérica de 3.14

ƒ = Frecuencia en Herz, (Hz)

L = Inductancia en Henries, (H)

Entonces, cada vez que se aplica un voltaje sinusoidal a una bobina inductiva, la fem inversa se opone al aumento y la caída de la corriente que fluye a través de la bobina y en una bobina puramente inductiva que tiene cero resistencia o pérdidas, esta impedancia (que puede ser un número complejo) es igual a su reactancia inductiva. También la reactancia está representada por un vector ya que tiene tanto una magnitud como una dirección (ángulo).

Inductancia de CA con suministro sinusoidal

Considere el siguiente circuito:

Este sencillo circuito anterior consta de una inductancia pura de L Henries ( H ), conectada a través de un voltaje sinusoidal dado por la expresión: V(t) = V_max sen ωt . Cuando el interruptor está cerrado, este voltaje sinusoidal hará que fluya una corriente y aumente desde cero hasta su valor máximo. Este aumento o cambio en la corriente inducirá un campo magnético dentro de la bobina que a su vez se opondrá o restringirá este cambio en la corriente.

Pero antes de que la corriente haya tenido tiempo de alcanzar su valor máximo, como ocurriría en un circuito de corriente continua, la tensión cambia de polaridad y la corriente cambia de dirección. Este cambio en la otra dirección, una vez más, se retrasa por la contrafase autoinducida en la bobina, y en un circuito que contiene una inductancia pura solamente, la corriente se retrasa 90°.

La tensión aplicada alcanza su valor positivo máximo un cuarto ( 1/4ƒ ) de ciclo antes de que la corriente alcance su valor positivo máximo, es decir, una tensión aplicada a un circuito puramente inductivo "ADELANTA" a la corriente un cuarto de ciclo o 90° como se muestra a continuación.

Forma de Onda Sinusoidales para la inductancia de CA

Este efecto también puede representarse mediante un diagrama fasorial, ya que en un circuito puramente inductivo la tensión "ADELANTA" a la corriente 90º. Pero si utilizamos la tensión como referencia, también podemos decir que la corriente “ATRASA" a la tensión un cuarto de ciclo o 90°, como se muestra en el siguiente diagrama vectorial.

Diagrama fasorial para inductancia en CA

Entonces, para un inductor puro sin pérdidas, V_L “adelanta” I_L en 90° , o podemos decir que I_L “retrasa” a V_L en 90° .

El efecto de la frecuencia en la reactancia inductiva

Cuando se conecta un suministro de 50 Hz a través de una inductancia de CA adecuada, la corriente se retrasará 90 o como se describió anteriormente y obtendrá un valor máximo de I amperios antes de que el voltaje invierta la polaridad al final de cada medio ciclo, es decir, la corriente aumenta. a su valor máximo en “T segundos”.

Si ahora aplicamos un suministro de 100 Hz del mismo voltaje pico a la bobina, la corriente aún se retrasará 90° pero su valor máximo será menor que el valor de 50 Hz porque el tiempo que requiere para alcanzar su valor máximo se ha reducido debido a al aumento de frecuencia porque ahora solo tiene “1/2 T segundos” para alcanzar su valor pico. Además, la tasa de cambio del flujo dentro de la bobina también ha aumentado debido al aumento de la frecuencia.

Luego, a partir de la ecuación anterior para la reactancia inductiva, se puede ver que, si la frecuencia o la inductancia aumentan, el valor general de la reactancia inductiva de la bobina también aumentaría. A medida que la frecuencia aumenta y se acerca al infinito, la reactancia de los inductores y por lo tanto su impedancia también aumentaría hacia el infinito actuando como un circuito abierto.

Asimismo, a medida que la frecuencia se acerca a cero o corriente directa, la reactancia de los inductores también disminuiría a cero, actuando como un cortocircuito. Esto significa que la reactancia inductiva es "directamente proporcional a la frecuencia" y tiene un valor pequeño a bajas frecuencias y un valor alto a frecuencias más altas, como se muestra.

Reactancia inductiva frente a la frecuencia

La reactancia inductiva de un inductor aumenta a medida que aumenta la frecuencia a través de él, por lo tanto, la reactancia inductiva es proporcional a la frecuencia ( XL α ƒ ) ya que la contrafase generada en el inductor es igual a su inductancia multiplicada por la tasa de cambio de la corriente en el inductor.

Además, a medida que la frecuencia aumenta, la corriente que circula por el inductor también reduce su valor.

Podemos presentar el efecto de las frecuencias muy bajas y altas en la reactancia de una inductancia de CA pura como sigue:

En un circuito de CA que contiene inductancia pura, se aplica de la siguiente manera:

Entonces, ¿cómo llegamos a esta ecuación? Bueno, la fem autoinducida en el inductor está determinado como bien sabemos por la Ley de Faraday que se encarga de producir el efecto de “autoinducción”. Cuando una corriente pasa a través de una bobina inductiva, la tasa de cambia de la corriente CA induce una fem en la misma bobina que contrarresta la corriente cambiante. El efecto en la bobina donde su propio campo magnético que está siendo creado por el flujo de corriente que fluye a través de ella, se opone a cualquier cambio de corriente se llama “autoinducción”

El valor de voltaje máximo de esta fem autoinducida corresponderá a la tasa máxima de cambio de corriente con este valor de voltaje a través de la bobina dado como:

$\displaystyle {{V}_{{L(t)}}}=L\frac{{d{{i}_{{L(t)}}}}}{{dt}}$

$\displaystyle {{V}_{{L(t)}}}=\frac{d}{{dt}}L{{i}_{{L(t)}}}$

Donde: d/dt representa la tasa de cambio de la corriente con respecto al tiempo.

La corriente sinusoidal que fluye a través de la bobina inductiva (L) creando el flujo magnético a su alrededor, se da como:

$\displaystyle {{V}_{{L(t)}}}=\frac{d}{{dt}}L\times {{I}_{{\max }}}sen(\omega t)$

La diferenciación para la corriente sinusoidal da:

$\displaystyle {{V}_{{L(t)}}}=\frac{d}{{dt}}L{{I}_{{\max }}}sen(\omega t)=\omega L{{I}_{{\max }}}\cos \left( {\omega t+\theta } \right)$

La identidad trigonométrica de cos (ωt + 0° ) = sin (ωt + 0^°  + 90^° ) como forma de onda de coseno es efectivamente una forma de onda sinusoidal desplazada +90° . Luego, podemos volver a escribir la ecuación anterior en forma de onda sinusoidal para definir el voltaje a través de una inductancia de CA como:

Donde: V_MAX  = ωLI_MAX = √2V_RMS que es la amplitud máxima de voltaje, y θ = + 90° es la diferencia de fase o ángulo de fase entre las formas de onda de voltaje y corriente. Es decir, la corriente se retrasa el voltaje en 90 ^o a través de un inductor puro.

En el dominio fasorial

Cuando nos encontramos en el dominio fasorial, el voltaje a través de la bobina se da como:

$\displaystyle {{V}_{L}}=j\omega LI$

Dónde:

$\displaystyle j\omega L=j{{X}_{L}}=2\pi fL$

Y en su forma polar esto se escribiría como: X _L ∠90 ^o donde:

Es decir:

$\displaystyle {{X}_{L}}\angle \theta =j\omega L=0+j{{X}_{L}}=\omega L\angle +90{}^\circ =Z\angle +90{}^\circ $

CA a través de un circuito en serie R + L

Hemos visto anteriormente que la corriente que fluye a través de una bobina puramente inductiva tiene un retraso de 90° con respecto a la tensión y cuando decimos una bobina puramente inductiva nos referimos a una que no tiene resistencia óhmica y por lo tanto, no tiene pérdidas I²R. Pero en el mundo real, es imposible tener una inductancia puramente de CA.

Todas las bobinas eléctricas, los relés, los solenoides y los transformadores tendrán una cierta cantidad de resistencia, por pequeña que sea, asociada a las vueltas de cable que se utilicen. Esto se debe a que el cable de cobre tiene resistividad. Entonces podemos considerar que nuestra bobina inductiva es una que tiene una resistencia, R en serie con una inductancia, L produciendo lo que se puede llamar vagamente una "inductancia impura".

Si la bobina tiene alguna resistencia "interna" entonces tenemos que representar la impedancia total de la bobina como una resistencia en serie con una inductancia y en un circuito de CA que contiene tanto la inductancia, L y la resistencia, R el voltaje, V a través de la combinación será la suma fasorial de los dos voltajes componentes, V_R y V_L.

Esto significa que la corriente que fluye a través de la bobina seguirá siendo inferior a la tensión, pero en una cantidad inferior a 90° dependiendo de los valores de V_R y V_L, la suma fasorial. El nuevo ángulo entre las formas de onda de la tensión y la corriente nos da su diferencia de fase que, como sabemos, es el ángulo de fase del circuito dado el símbolo griego phi, Φ.

Circuito de resistencia-inductancia en serie

Consideremos el siguiente circuito en el que una resistencia pura no inductiva, R, está conectada en serie con una inductancia pura, L.

En el circuito en serie RL anterior, podemos ver que la corriente es común a la resistencia y a la inductancia, mientras que la tensión está formada por las dos tensiones componentes, V_R y V_L. La tensión resultante de estas dos componentes se puede hallar matemáticamente o dibujando un diagrama vectorial. Para poder elaborar el diagrama vectorial hay que encontrar una referencia o componente común y en un circuito de corriente alterna en serie la corriente es la fuente de referencia ya que la misma corriente fluye a través de la resistencia y la inductancia. Los diagramas vectoriales individuales para una resistencia pura y una inductancia pura se dan como:

Diagramas vectoriales para los dos componentes puros

Podemos ver desde arriba y desde nuestra publicación anterior sobre la Resistencia de CA que el voltaje y la corriente en un circuito resistivo están ambos en fase y por lo tanto el vector V_R se dibuja superpuesto a escala sobre el vector de la corriente. También desde arriba se sabe que la corriente va por detrás del voltaje en un circuito de inductancia de CA (puro), por lo tanto el vector V_L se dibuja 90° por delante de la corriente y a la misma escala que V_R como se muestra.

Diagrama vectorial de la tensión resultante

En el diagrama vectorial anterior, podemos ver que la línea OB es la referencia horizontal de la corriente y la línea OA es la tensión a través del componente resistivo que está en fase con la corriente. La línea OC muestra la tensión inductiva que está 90° por delante de la corriente, por lo que todavía se puede ver que la corriente va por detrás de la tensión puramente inductiva en 90°. La línea OD nos da la tensión de alimentación resultante. Entonces:

V es el valor eficaz de la tensión aplicada.

I es el valor eficaz de la corriente en serie.

V_R es igual a la caída de tensión I.R a través de la resistencia que está en fase con la corriente.

V_L es igual a la caída de tensión I.X_L a través de la inductancia que adelanta la corriente en 90°.

Como la corriente va por detrás de la tensión en una inductancia pura exactamente 90°, el diagrama fasorial resultante dibujado a partir de las caídas de tensión individuales V_R y V_L representa un triángulo de tensión en ángulo recto mostrado anteriormente como OAD. Entonces también podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar matemáticamente el valor de esta tensión resultante a través del circuito de resistencia/inductor ( RL ).

Como V_R = I.R y V_L = I.X_L la tensión aplicada será la suma vectorial de las dos como sigue:

$\displaystyle {{V}^{2}}={{V}_{R}}^{2}+{{V}_{L}}^{2}$

$\displaystyle V=\sqrt{{{{V}_{R}}^{2}+{{V}_{L}}^{2}}}$

$\displaystyle V=\sqrt{{{{{\left( {IR} \right)}}^{2}}+{{{\left( {I{{X}_{L}}} \right)}}^{2}}}}$

$\displaystyle \therefore I=\frac{V}{{\sqrt{{{{R}^{2}}+{{X}_{L}}^{2}}}}}$

La cantidad:

$\displaystyle \sqrt{{{{R}^{2}}+{{X}_{L}}^{2}}}$

Representa la impedancia (Z) del circuito.

La Impedancia de una Inductancia de CA

La impedancia (Z) es la oposición "TOTAL" a la corriente que fluye en un circuito de CA que contiene tanto la resistencia (la parte real) y reactancia (la parte imaginaria). La impedancia también tiene las unidades de Ohms, Ω. La impedancia depende de la frecuencia, ω del circuito, ya que esto afecta a los componentes reactivos del circuito y en un circuito en serie todas las impedancias resistivas y reactivas se suman.

La impedancia también puede representarse mediante un número complejo, Z = R + jX_L, pero no es un fasor, sino el resultado de dos o más fasores combinados. Si dividimos los lados del triángulo de voltaje o triángulo de tensión anterior por I, se obtiene otro triángulo cuyos lados representan la resistencia, la reactancia y la impedancia del circuito como se muestra a continuación.

El triángulo de la impedancia RL

Entonces: ( Impedancia )² = ( Resistencia )² + ( j Reactancia )² donde j representa el desplazamiento de fase de 90°.

Esto significa que el ángulo de fase positivo, θ entre la tensión y la corriente está dado como.

Ángulo de Fase

$\displaystyle {{Z}^{2}}={{R}^{2}}+{{X}_{L}}^{2}$

$\displaystyle {{\cos }^{{-1}}}\phi =\frac{R}{Z}$

$\displaystyle se{{n}^{{-1}}}\phi =\frac{{{{X}_{L}}}}{Z}$

$\displaystyle {{\tan }^{{-1}}}\phi =\frac{{{{X}_{L}}}}{R}$

Mientras que nuestro ejemplo anterior representa una simple inductancia de CA no pura, si dos o más bobinas inductivas están conectadas en serie o una sola bobina está conectada en serie con muchas resistencias no inductivas, entonces la resistencia total para los elementos resistivos sería igual a: R₁ + R₂ + R₃, etc., dando un valor resistivo total para el circuito.

Del mismo modo, la reactancia total para los elementos inductivos sería igual a: X₁ + X₂ + X₃ etc, dando un valor de reactancia total para el circuito. De este modo, un circuito que contenga muchas reactancias, bobinas y resistencias puede reducirse fácilmente a un valor de impedancia, Z, compuesto por una única resistencia en serie con una única reactancia, Z² = R² + X²

Ejemplos Resueltos de Inductancia Reactiva

Solución:

El voltaje rms a través de la bobina será el mismo que el voltaje de suministro. Si la tensión máxima de la fuente de alimentación es de 325 V, el valor rms equivalente será de 230 V. Convertir este valor en el dominio del tiempo a su forma polar nos da: V_L = 230 ∠-30 ^o (voltios) . La reactancia inductiva de la bobina es: X _L = ωL = 314 x 2.2 = 690Ω . Luego, la corriente que fluye a través de la bobina se puede encontrar usando la ley de Ohm, como:

$\displaystyle {{I}_{L}}=\frac{{{{V}_{L}}}}{{j{{X}_{L}}}}=\frac{{230\angle -30{}^\circ }}{{690\angle 90{}^\circ }}=0.33\angle -120{}^\circ (A)$

Con la corriente retrasando el voltaje por 90° el diagrama fasorial será:

Solución:

La impedancia del circuito se calcula de la siguiente manera:

$\displaystyle {{X}_{L}}=2\pi fL=2\pi \times 50\times 0.5=157\Omega $

$\displaystyle Z=\sqrt{{{{R}^{2}}+{{X}_{L}}^{2}}}$

$\displaystyle Z=\sqrt{{{{{30}}^{2}}+{{{157}}^{2}}}}$

$\displaystyle Z=159.8\Omega $

Luego, las caídas de voltaje en cada componente se calculan como:

$\displaystyle {{V}_{S}}=I.Z=4\times 159.8=640v$

$\displaystyle {{V}_{S}}=I.Z=4\times 159.8=640v$

$\displaystyle {{V}_{L}}=I.{{X}_{L}}=4\times 157=628v$

El ángulo de fase entre la corriente y la tensión de alimentación se calcula como:

$\displaystyle {{\tan }^{{-1}}}\phi =\frac{{{{X}_{L}}}}{R}=\frac{{157}}{{30}}=79.2{}^\circ $

El diagrama fasorial será: