Números Complejos en Corriente Alterna

Las matemáticas que se suelen utilizar en ingeniería eléctrica, electrónica, mecatrónica, etc. Por lo general se usa para sumar resistencias, corrientes o voltajes de corriente continua o directa que finalmente se denominan, números reales.

Pero los números reales no son el único tipo de números que necesitamos usar, especialmente cuando se trata de vectores y fuentes sinusoidales dependientes de la frecuencia. Además de usar números normales o reales, los números complejos se introdujeron para permitir resolver ecuaciones complejas con números que son raíces cuadradas de números negativos.

En ingeniería este tipo de número se denomina “número imaginario” y para distinguir un número imaginario de un número real se utiliza la letra “ j “ conocida comúnmente en ingeniería como el operador j. Por lo tanto, la letra “ j “ se coloca delante de un número real para indicar su operación de número imaginario.

Algunos ejemplos de números imaginarios son: j2, j10, j300 etc. Entonces un número complejo consta de dos partes distintas pero muy relacionadas, un “número real” más un “número imaginario”.

Los números complejos representan puntos en un complejo bidimensional o plano s que están referenciados a dos ejes distintos. El eje horizontal se denomina “eje real”, mientras que el eje vertical se denomina “eje imaginario”. Las partes real e imaginaria de un número complejo se abreva como Re(z) e Im(z), respectivamente.

Los números complejos que se componen de números reales (el componente activo) e imaginarios (el componente reactivo) se pueden sumar, restar y usar exactamente de la misma manera que se usa el álgebra elemental para analizar circuitos de corriente continua.

Las reglas y leyes que se usan en matemáticas para la suma o resta de números imaginarios son las mismas que para los números reales, j3 + j4 = j7, etc. La única diferencia está en la multiplicación porque dos números imaginarios multiplicados juntos se convierten en un número real negativo. Los números reales también se pueden considerar como un número complejo pero con una parte imaginaria cero etiquetada como j0.

El operador j tiene un valor exactamente igual a √ -1 , por lo que la multiplicación sucesiva de " j ", (  j x j  ) dará como resultado que j tenga los siguientes valores de -1 , -j y +1 . Como el operador j se usa comúnmente para indicar la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj de un vector, cada multiplicación o potencia sucesiva de “j", "j²", "j³" , etc., obligará al vector a girar en un ángulo fijo de 90° en sentido contrario a las agujas del reloj. dirección como se muestra a continuación. Asimismo, si la multiplicación del vector da como resultado a -j operador entonces el cambio de fase será -90°, es decir, una rotación en el sentido de las agujas del reloj.

Rotación Vectorial del operador J

Basándonos en la imagen, al multiplicar un número imaginario por j² rotará el vector 180° en sentido contario a las agujas del reloj, al multiplicar por j³ lo rotará 270° y por j^4 lo rotará 360° o lo devolverá a su posición original. La multiplicación por j^10 o por j^30 hará que el vector gire en sentido contrario a las agujas del reloj en la cantidad adecuada. En cada rotación sucesiva, la magnitud del vector siempre permanece igual.

Números complejos usando la forma rectangular

En el último artículo sobre fasores, vimos que un número complejo se representa por una parte real y una parte imaginaria que toma la forma generalizada de:

Dónde:

Z = Es el número complejo que representa el vector

x = Es la parte real o el componente activo

y = Es la parte imaginaria o el componente reactivo

j = se define por √ -1

En la forma rectangular, un número complejo se puede representar como un punto en un plano bidimensional llamado complejo o plano S . Entonces. Por ejemplo, Z = 6 + J4 representa un solo punto cuyas coordenadas representan 6 en el eje real horizontal y 4 en el eje imaginario vertical, como se muestra a continuación.

Números complejos usando el plano complejo o S

Pero como tanto la parte real como la imaginaria de un número complejo en forma rectangular pueden ser un número positivo o un número negativo, entonces tanto el eje real como el imaginario también deben extenderse en las direcciones positiva y negativa. Esto produce un plano complejo con cuatro cuadrantes llamado Diagrama de Argand.

Diagrama de Argand de cuatro cuadrantes

En el diagrama de Argand podemos observar que el eje horizontal representa todos los números reales positivos a la derecha del eje imaginario vertical y todos los números reales negativos a la izquierda del eje imaginario vertical. Todos los números imaginarios positivos se representan sobre el eje horizontal, mientras que todos los números imaginarios negativos están debajo del eje real horizontal. Esto luego produce un plano complejo bidimensional con cuatro cuadrantes distintos etiquetados como: Q1, Q2, Q3 y Q4

El diagrama de Argand por lo tanto nos ayuda a representar un fasor giratorio como un punto en el plano complejo cuyo radio está dado por la magnitud del fasor que trazará un círculo completo alrededor de él cada 2π/ω segundos

Luego, podemos ampliar esta idea aún más para mostrar la definición de un número complejo tanto en forma polar como rectangular para rotaciones de 90°.

Los números complejos también pueden tener partes reales o imaginarias “cero” como: Z = 6 +j0 o Z = 0 + j4 . En este caso, los puntos se trazan directamente sobre el eje real o imaginario. Además, el ángulo de un número complejo se puede calcular usando trigonometría simple para calcular los ángulos de los triángulos rectángulos, o se puede medir en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del diagrama Argand a partir del eje real positivo.

Entonces los ángulos entre 0 y 90° estarán en el primer cuadrante (I), os ángulos (  θ  ) entre 90 y 180 ^o en el segundo cuadrante (  II  ). El tercer cuadrante (  III  ) incluye ángulos entre 180 y 270 ^o mientras que el cuarto y último cuadrante (  IV  ) que completa el círculo completo, incluye los ángulos entre 270 y 360 ^o y así sucesivamente. En los cuatro cuadrantes, los ángulos relevantes se pueden encontrar a partir de:

tan ^-1 (componente imaginario ÷ componente real)

Suma y Resta de números complejos

La suma o resta de números complejos se puede hacer matemática o gráficamente en forma rectangular. Para la suma, primero se suman las partes reales y luego las partes imaginarias para formar la parte imaginaria de la suma y este proceso es el siguiente usando dos números complejos A y B como ejemplos.

Sumas y restas complejas

Ejemplo Resuelto de Operación con Números Complejos

1. Realizando la suma, procedemos a realizar lo siguiente:

$\displaystyle A+B=(4+j1)+(2+j3)$

$\displaystyle A+B=(4+2)+j(1+3)=6+j4$

1. Realizando la resta, procedemos a realizar lo siguiente:

$\displaystyle A-B=(4+j1)-(2+j3)$

$\displaystyle A+B=(4-2)+j(1-3)=2-j2$

La representación gráfica de este problema se puede apreciar en la siguiente imagen:

Multiplicación y División de Números Complejos

La multiplicación de números complejos en forma rectangular sigue más o menos las mismas reglas que el álgebra normal junto con algunas reglas adicionales para la multiplicación sucesiva del operador j donde: j² = -1 . Entonces, por ejemplo, multiplicar nuestros dos vectores anteriores de A = 4 + j1 y B = 2 + j3 nos dará el siguiente resultado.

$\displaystyle AxB=(4+j1)(2+j3)$

$\displaystyle AxB=8+j12+j2+{{j}^{2}}3$

Pero como sabemos que

$\displaystyle {{j}^{2}}=-1$

Entonces:

$\displaystyle AxB=8+j14-3$

$\displaystyle AxB=5+j14$

Matemáticamente, la división de números complejos en forma rectangular es un poco más difícil de realizar ya que requiere el uso de la función conjugada de los denominadores para convertir el denominador de la ecuación es un número real. A esto se le llama “racionalizar”. Entonces, la división de números complejos se lleva a cabo mejor usando su “forma polar”. Sin embargo, veamos un ejemplo con la forma rectangular dividiendo el vector A sobre el vector B

$\displaystyle \frac{A}{B}=\frac{{4+j1}}{{2+j3}}$

Multiplicando ambos lados por el conjugado de 2 + j3

$\displaystyle \frac{{4+j1}}{{2+j3}}\times \frac{{2-j3}}{{2-j3}}=\frac{{8-j12+j2-{{j}^{2}}3}}{{4-j6+j6-{{j}^{2}}9}}$

$\displaystyle =\frac{{8-j10+3}}{{4+9}}=\frac{{11-j10}}{{13}}$

$\displaystyle =\frac{{11}}{{13}}+\frac{{-j10}}{{13}}=0.85-j0.77$

Conjugado de un Número complejo

El conjugado complejo o simplemente conjugado de un número complejo, se encuentra invirtiendo el signo algebraico del número imaginario de los números complejos solo manteniendo el signo algebraico del número real igual y para identificar el conjugado complejo de z se usa el siguiente símbolo en la parte de arriba.

$\displaystyle \bar{z}$

Por ejemplo, el conjugado de z = 6 + j3

$\displaystyle \bar{z}=6-j3$

Igualmente el conjugado de z = 6 – j3

$\displaystyle \bar{z}=6+j3$

En el diagrama de Argand para un conjugado complejo tienen la misma posición horizontal en el eje real que el número complejo original, pero posiciones verticales opuestas. Por lo tanto, los conjugados complejos pueden considerarse como un reflejo de un número complejo. El siguiente ejemplo muestra un número complejo 6 + j4 y su conjugado en el plano complejo.

La suma de un número complejo y su complejo conjugado siempre será un número real como hemos visto anteriormente. Luego, la suma de un número complejo y su conjugado da como resultado un número real o componente activo solamente, mientras que su resta da un número imaginario o componente reactivo solamente. El conjugado de un número complejo es un elemento importante que se utiliza en ingeniería para determinar la potencia aparente de un circuito de CA en forma rectangular.

Números complejos usando forma polar

A diferencia de la forma rectangular que traza puntos en el plano complejo, la forma polar de un número complejo se escribe en términos de su magnitud y ángulo. Así, un vector de forma polar se presenta como: Z = A∠±θ, donde: Z es el número complejo en forma polar, A es la magnitud o módulo del vector y θ es su ángulo o argumento de A que puede ser positivo o negativo. La magnitud y el ángulo del punto siguen siendo los mismos que para la forma rectangular de arriba, esta vez en forma polar, la ubicación del punto se representa en una “forma triangular” como se muestra a continuación

Representación en forma polar de un número complejo

Como la representación polar de un punto se basa en la forma triangular, podemos usar la geometría simple del triángulo y especialmente la trigonometría y el teorema de Pitágoras sobre triángulos para encontrar tanto la magnitud como el ángulo del número complejo. Aplicando la trigonometría que ya sabemos hasta este punto, relacionemos los lados como:

$\displaystyle {{A}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$

$\displaystyle A=\sqrt{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}$

Y también:

$\displaystyle x=A\cos \theta $

$\displaystyle y=Asen\theta $

Usando trigonometría el ángulo θ de A se da de la siguiente manera.

$\displaystyle \theta ={{\tan }^{{-1}}}\left( {\frac{y}{x}} \right)$

Luego, en forma polar, la longitud de A y su ángulo representan el número complejo en lugar de un punto. También en forma polar, el conjugado del número complejo tiene la misma magnitud o módulo, es el signo del ángulo el que cambia, así que, por ejemplo, el conjugado de 6 ∠30 ^o sería 6 ∠– 30 ^o

Conversión entre forma rectangular y forma polar

En la forma rectangular podemos expresar un vector en términos de sus coordenadas rectangulares, siendo el eje horizontal su eje real y el eje vertical su eje imaginario o componente j. En forma polar, estos ejes real e imaginario se representan simplemente por “ A ∠θ ”. Luego, usando nuestro ejemplo anterior, la relación entre la forma rectangular y la forma polar se puede definir como.

Conversión de forma polar en forma rectangular.

Veamos entonces, tenemos que:

$\displaystyle 6\measuredangle 30{}^\circ =x+jy$

Sin embargo.

$\displaystyle \begin{array}{l}x=A\cos \theta \\y=Asen\theta \end{array}$

Entonces:

$\displaystyle 6\angle 30{}^\circ =(6\cos \theta )+j(6sen\theta )$

$\displaystyle 6\angle 30{}^\circ =(6\cos 30{}^\circ )+j(6sen30{}^\circ )$

$\displaystyle 6\angle 30{}^\circ =(6\times 0.866)+j(6\times 0.5)$

$\displaystyle 6\angle 30{}^\circ =5.2+j3$

Conversión de forma rectangular en forma polar.

También podemos volver a convertir de forma rectangular a forma polar de la siguiente manera.

$\displaystyle (5.2+j3)=A\angle \theta $

Dónde:

$\displaystyle A=\sqrt{{{{{5.2}}^{2}}+{{3}^{2}}}}=6$

Y

$\displaystyle \theta ={{\tan }^{{-1}}}\left( {\frac{3}{{5.2}}} \right)=30{}^\circ $

Por lo tanto.

$\displaystyle (5.2+j3)=6\angle 30{}^\circ $

Multiplicación y division de formas polares

La forma rectangular es mejor para sumar y restar números complejos, como vimos anteriormente, pero la forma polar suele ser mejor para multiplicar y dividir. Para multiplicar dos vectores en forma polar, primero debemos multiplicar los dos módulos o magnitudes y luego sumar sus ángulos.

Multiplicación en forma Polar:

$\displaystyle {{Z}_{1}}\times {{Z}_{2}}={{A}_{1}}\times {{A}_{2}}\angle {{\theta }_{1}}+\angle {{\theta }_{2}}$

Supongamos que tenemos el siguiente problema: Multiplicar 6∠30^o y 8∠– 45^o en forma polar nos da lo siguiente:

$\displaystyle {{Z}_{1}}\times {{Z}_{2}}=6\times 8\angle 30{}^\circ +\left( {-45{}^\circ } \right)=48\angle -15{}^\circ $

División en forma polar

Asimismo, para dividir dos vectores en forma polar, debemos dividir los dos módulos y luego restar sus ángulos como se muestra.

$\displaystyle \frac{{{{Z}_{1}}}}{{{{Z}_{2}}}}=\left( {\frac{{{{A}_{1}}}}{{{{A}_{2}}}}} \right)\angle {{\theta }_{1}}-{{\theta }_{2}}$

Esto da:

$\displaystyle \frac{{{{Z}_{1}}}}{{{{Z}_{2}}}}=\left( {\frac{6}{8}} \right)\angle 30{}^\circ -\left( {-45{}^\circ } \right)=0.75\angle 75{}^\circ $

Afortunadamente, las calculadora científicas modernas de hoy en día han incorporado funciones matemáticas que permiten la fácil conversión entre la forma rectangular-polar y viceversa, de forma polar-rectangular.

Números Complejos Usando forma Exponencial

Hasta este punto hemos considerado números complejos en la forma rectangular  y la forma polar. Pero también hay un tercer método para representar un número complejo que es similar a la forma polar que corresponde a la longitud (magnitud) y el ángulo de fase de la sinusoide pero usa la base del logaritmo natural “e = 2.7182” para encontrar el valor del número complejo. Este método se conoce como forma exponencial.

La forma exponencial utiliza las funciones trigonométricas de los valores de seno y coseno de un triángulo rectángulo para definir el exponencial complejo como un punto giratorio en el plano complejo. La forma exponencial para encontrar la posición del punto se basa en la identidad de Euler , llamada así por el matemático suizo Leonhard Euler y se da como:

Entonces, la identidad de Euler se puede representar mediante el siguiente diagrama de fasores giratorios en el plano complejo.

Podemos ver que la identidad de Euler es muy similar a la forma polar anterior y uqe nos muestra que un número como A e  ^jθ que tiene una magnitud de 1 también es un número complejo. No solo podemos convertir fácilmente números complejos que están en forma exponencial en forma polar como: 2 e  ^j30  = 2∠30 , 10 e  ^j120  = 10∠120 o -6 e  ^j90  = -6∠90 , sino que la identidad de Euler también da una forma de convertir un número complejo de su forma exponencial a su forma rectangular. Luego, la relación entre la forma exponencial, polar y rectangular al definir un número complejo se da como se muestra a continuación:

Notación Fasorial

Hasta ahora hemos visto diferentes formas de representar un vector giratorio o un vector estacionario usando números complejos para definir un punto en el plano complejo. La notación fasorial es el proceso de construcción de un solo número complejo que tiene la amplitud y el ángulo de fase de la forma de onda sinusoidal dada.

Por lo tanto, la notación fasorial o trasformada fasorial, como a veces se le llama, transfiere la parte real de la función sinusoidal: A_(t)  = A_mcos(ωt ± Φ) del dominio del tiempo al dominio de los números complejos, que también se denomina dominio de la frecuencia, tal como está en la siguiente imagen:

En los artículos anteriores, incluido este, hemos visto que podemos usar fasores para representar formas de onda sinusoidales y que su amplitud y ángulo de fase se pueden escribir en forma de un número complejo. También hemos visto que los Números Complejos se pueden presentar en forma rectangular, polar o exponencial con la conversión entre cada forma de álgebra de números complejos incluyendo suma, resta, multiplicación y división.