Análisis Nodal – Ejercicios Resueltos

Si tenemos claro las bases de las leyes del ohm y las leyes de Kirchhoff , tanto la primera ley como la segunda, entonces podemos proceder a estudiar circuitos lineales más complicados, sin embargo existen otros métodos que nos harán la vida un poco más fácil, entre ellos se encuentran el análisis de nodos o análisis nodal, así como también existe el análisis de mallas. Y lo mejor de esto es que ambos métodos de solución suelen ser más directos, metódicos y mucho menos complicados. 😎

Para ello iniciaremos hablando del análisis nodal o el método de nodos, tal como lo dice el título del post; éste método está basado en las leyes de corrientes de Kirchhoff (LCK), lo importante de este método es que cada nodo nos dará una ecuación, tan simple como entender que las corrientes que entran son iguales a las corrientes que salen, esto ya lo hemos platicado más de una vez en el blog, así que será sencillo retomar esto para los próximos cálculos que tengamos que realizar.

Un nodo se define como la unión de una o más ramas. Por lo general se tendrá un nodo de referencia que posee cero volts, y los otros nodos con tensión fija

El proceso o algoritmo para realizar el método de Nodos se puede analizar aquí:

  1. Analizar el circuito y revisar cuantos nodos hay en la red.
  2. Elegir un nodo de referencia, y colocar una etiqueta al nodo con valor de voltaje, mediante el uso de subíndices.
  3. Aplicar la Ley de Corrientes de Kirchhoff sobre cada nodo existente, a excepción del nodo de referencia.
  4. Resolver las ecuaciones resultantes para los voltajes en los nodos.

Vamos a realizar un ejemplo muy fácil.

Ejercicios Resueltos de Análisis Nodal

Ejemplo 1.- Obtenga el valor del voltaje del nodo principal, y calcule el valor de las corrientes de cada rama.

Solución: En estos ejemplos de análisis nodal o análisis de nodos, es importante verificar el circuito inicial y colocar el nodo de referencia, así como los demás.

Paso 1.- Si observamos, tenemos una fuente de 24 V, dos resistencias eléctricas, una de 8 ohms y otra de 10 ohms, después tenemos una fuente de corriente de 3A , y finalmente nuestra referencia. Entonces una vez analizando el paso 1, podemos seguir con el paso 2.

Paso 2.- Dibujamos nuevamente nuestro circuito, pero ya con las marcas mencionadas para el paso 2.

Paso 3.- El siguiente paso, es suponer como creemos nosotros que las corrientes están entrando o saliendo del nodo 1 , que le hemos puesto V1; por ejemplo nosotros asumiremos lo siguiente: diremos que está entrando una corriente I1 que sale de la fuente, y que también está entrando 3A, y solamente sale una corriente que pasa por la resistencia 2, hacía el nodo de referencia, o sea algo así:

Hemos colocado ” + ” en la resistencia por donde entra la corriente, y un ” – ” por donde sale la corriente, esto nos servirá para entender mejor el proceso de la ley de nodos, sin embargo recordemos que estamos suponiendo el sentido de las corrientes, puede que una corriente al momento de realizar los cálculos nos de negativo, eso quiere decir que al momento de realizar la asignación de corrientes, lo pusimos en sentido contrario. Así que ahora realicemos las ecuaciones de corrientes de Kirchhoff.

\displaystyle {{I}_{1}}+I={{I}_{2}}

Para la corriente I2 sabemos que por la Ley del Ohm

\displaystyle {{I}_{2}}=\frac{{{V}_{{{R}_{2}}}}}{{{R}_{2}}}=\frac{{{V}_{1}}}{{{R}_{2}}}

Para la corriente I1 también la podemos calcular por la ley del ohm, como:

\displaystyle {{I}_{1}}=\frac{{{V}_{{{R}_{1}}}}}{{{R}_{1}}}=\frac{24-{{V}_{1}}}{{{R}_{1}}}

Ahora si podemos unir nuestras ecuaciones:

\displaystyle \frac{24-{{V}_{1}}}{{{R}_{1}}}+I=\frac{{{V}_{1}}}{{{R}_{2}}}

Paso 4.- Ahora es momento de resolver nuestra ecuación, para ello sabemos que lo único que no tenemos en esa ecuación es el valor de V1, entonces procedemos a encontrarlo. Primero vamos a despejar a V1.

\displaystyle \frac{24}{{{R}_{1}}}+I=\frac{{{V}_{1}}}{{{R}_{2}}}+\frac{{{V}_{1}}}{{{R}_{1}}}={{V}_{1}}\left( \frac{1}{{{R}_{2}}}+\frac{1}{{{R}_{1}}} \right)

Seguimos despejando:

\displaystyle \frac{24+I{{R}_{1}}}{{{R}_{1}}}={{V}_{1}}\left( \frac{1}{{{R}_{2}}}+\frac{1}{{{R}_{1}}} \right)

De aquí podemos hacer el despeje mucho más claro:

Por lo que:

\displaystyle {{V}_{1}}={{R}_{2}}\left( \frac{24+I{{R}_{1}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}} \right)

Colocando nuestros datos, tememos que:

\displaystyle {{V}_{1}}={{R}_{2}}\left( \frac{24+I{{R}_{1}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}} \right)=10\Omega \left( \frac{24V+3A(8\Omega )}{18\Omega } \right)=10\Omega \left( \frac{48V}{18\Omega } \right)

Por lo que:

\displaystyle {{V}_{1}}=26.67V

La tensión del nodo es de 26.67 Volts.

Entonces, podemos calcular el valor de las demás corrientes.

Obteniendo la Corriente I1

De la formula observamos que la corriente I1

\displaystyle {{I}_{1}}=\frac{{{V}_{{{R}_{1}}}}}{{{R}_{1}}}=\frac{24-{{V}_{1}}}{{{R}_{1}}}=\frac{24V-26.67V}{8\Omega }=-0.334A

Nos da un valor negativo, eso quiere decir que como nosotros consideramos que entraba la corriente al nodo, en realidad la corriente salia del nodo, por eso sale negativo.

Obteniendo la Corriente I2

\displaystyle {{I}_{2}}=\frac{{{V}_{{{R}_{2}}}}}{{{R}_{2}}}=\frac{{{V}_{1}}}{{{R}_{2}}}=\frac{26.67}{10\Omega }=2.666A

Nos da un valor positivo, eso quiere decir que nuestra forma en como tomamos la dirección de la corriente, está bien. Entonces comprobamos las corrientes.

\displaystyle -0.334A+3A=2.666A

Listo, problema resuelto 😎

Veamos ahora otro ejemplo

Ejemplo 2.- Obtenga los voltajes nodales del siguiente circuito.

Solución: Analizando nuestro circuito podemos observar que nuevamente tenemos dos fuentes de corrientes, también vemos algunas resistencias, de 2ohms , 12 ohms y 6 ohms. Ahora es momento de marcar a nuestros nodos, los que utilizaremos para poder calcular las ecuaciones de corrientes de Kirchhoff. Por lo que tenemos el siguiente panorama.

Con esto podemos formular nuestras ecuaciones, sin ningún problema. Porque podemos darle dirección a nuestras corrientes. En nuestro caso hemos optado por lo siguiente:

Una vez que hemos trazado nuestras corrientes, entonces podemos formular, la ecuación:

Para el nodo 1

\displaystyle 4A={{I}_{1}}+{{I}_{2}}

Entra 4A y salen dos corrientes I1 y I2, ahora calculamos el valor de las corrientes de manera representativa

\displaystyle 4A=\frac{{{V}_{1}}-{{V}_{2}}}{{{R}_{3}}}+\frac{{{V}_{1}}}{{{R}_{1}}}

Sustituyendo datos:

\displaystyle 4A=\frac{{{V}_{1}}}{2\Omega }+\frac{{{V}_{1}}-{{V}_{2}}}{12\Omega }

Multiplicando toda la ecuación por 12, para eliminar nuestro denominador (mínimo común múltiplo).

\displaystyle 12\left( 4A \right)=12\left( \frac{{{V}_{1}}}{2\Omega }+\frac{{{V}_{1}}-{{V}_{2}}}{12\Omega } \right)

\displaystyle 48A=6{{V}_{1}}+{{V}_{1}}-{{V}_{2}}=7{{V}_{1}}-{{V}_{2}}

Qué finalmente nos queda, nuestra primera ecuación:

\displaystyle 48A=7{{V}_{1}}-{{V}_{2}}

Para el nodo 2

\displaystyle {{I}_{1}}={{I}_{3}}+2A

Es fácil observar que la corriente I1 entra y salen dos, que son la corriente I3 y los 2 Amperes.

\displaystyle \frac{{{V}_{1}}-{{V}_{2}}}{{{R}_{3}}}=\frac{{{V}_{2}}}{{{R}_{2}}}+2A

Sustituyendo nuestros datos:

\displaystyle \frac{{{V}_{1}}-{{V}_{2}}}{12\Omega }=\frac{{{V}_{2}}}{6\Omega }+2A

Multiplicando por 12 como mínimo común múltiplo, para eliminar los denominadores:

\displaystyle 12\left( \frac{{{V}_{1}}-{{V}_{2}}}{12\Omega } \right)=12\left( \frac{{{V}_{2}}}{6\Omega }+2A \right)

El resultado es:

\displaystyle {{V}_{1}}-{{V}_{2}}=2{{V}_{2}}+24A

Reduciendo obtenemos nuestra segunda ecuación.

\displaystyle {{V}_{1}}-3{{V}_{2}}=24A

Ahora es momento de unir tanto la primera ecuación como la segunda, para poder encontrar los valores de V1 y V2, esto lo haremos mediante la regla de cramer 

\displaystyle {{V}_{1}}=\frac{\left| \begin{matrix}  48 & -1 \\  24 & -3 \\  \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix}  7 & -1 \\  1 & -3 \\  \end{matrix} \right|}=\frac{144+24}{-21+1}=\frac{-120}{-20}=6v

Ahora procedemos a calcular el otro voltaje.

\displaystyle {{V}_{2}}=\frac{\left| \begin{matrix}  7 & 48 \\  1 & 24 \\  \end{matrix} \right|}{-20}=\frac{168-48}{-20}=\frac{120}{-20}=-6v

y con esto finalizamos el ejercicio, si quisiéramos calcular el valor de las corrientes, sería igual de sencillo porque prácticamente la información de la tensión de los nodos, nos da claramente los datos que necesitamos. 😎

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