¿Qué tal lectores?, hoy hablaremos sobre un tema muy importante en el análisis de circuitos y se trata sobre las configuraciones delta-estrella, o viceversa estrella-delta, éstas configuraciones de circuito son realizadas en los resistores que no tienen la forma de serie o paralelo, así también es imposible hacer una análisis detallado con el método de mallas o el método de nodos, sin embargo veremos unas formas muy sencillas de convertir de una manera a otra. 😎

Si bien hay formas de llamar a la configuración estrella como Y o T, y la configuración delta como pi, entonces las ilustremos para que sea de mejor entendimiento.

Por lo general, obtendríamos un resultado similar al siguiente al momento de realizar nuestra conversión matemática de una forma a otra, pero nada complicado:

Conversión de Delta a Estrella

La demostración de ésta fórmula es muy sencilla, por ejemplo sabemos que la configuración delta contiene las siguientes resistencias:

\displaystyle {{R}_{A}},{{R}_{B}},{{R}_{C}}

Y la configuración estrella, contiene éstas otras:

\displaystyle {{R}_{1}},{{R}_{2}},{{R}_{3}}

Pues bien, para pasar de Delta a Estrella, lo haremos de la siguiente manera, prestar atención a lo único que hay que tomar importancia.

  1. El valor de la resistencia que se desea conocer, se multiplica por las resistencias de sus costados.
  2. El resultado del producto de las resistencias del costado, se divide entre la suma de todas las resistencias.

Obteniendo R1

Siguiendo este pequeño algoritmo, podemos establecer entonces que si deseamos conocer el valor de la resistencia R1, buscamos las dos resistencias de sus costados que son Rb y Rc, y la dividimos por la suma de todas las resistencias es decir Ra + Rb + Rc.

¿fácil no? , entonces esto quedaría de la siguiente forma.

\displaystyle {{R}_{1}}=\frac{{{R}_{B}}{{R}_{C}}}{{{R}_{A}}+{{R}_{B}}+{{R}_{C}}}

Obteniendo R2

Hacemos el mismo procedimiento, es decir buscamos a R2 y vemos que resistencias están a su costado, en este caso es Ra y Rc, entonces sabemos que a ese producto lo vamos a dividir por la suma total, entonces tendríamos lo siguiente.

\displaystyle {{R}_{2}}=\frac{{{R}_{A}}{{R}_{C}}}{{{R}_{A}}+{{R}_{B}}+{{R}_{C}}}

Obteniendo R3

Si seguimos el procedimiento, es fácil inferir, quiénes serán las dos resistencias que se multiplicarán en la parte del numerador, pues el denominador sabemos que es la suma de las tres resistencias en total. Entonces decimos que las únicas resistencias para R3 es Ra y Rb.

\displaystyle {{R}_{3}}=\frac{{{R}_{A}}{{R}_{B}}}{{{R}_{A}}+{{R}_{B}}+{{R}_{C}}}

Conversión de Estrella a Delta

Ahora es momento de observar como es posible obtener Ra, Rb, y Rc, la verdad no es difícil, pero si es importante tener en cuenta los siguientes dos puntos:

  1. El numerador estará fijo para las conversiones, y es muy fácil obtenerlo, solamente debemos multiplicar R1 con R2, luego sumar R1 con R3 y finalmente sumar R2 con R3, el resultado del producto de las resistencias.
  2. Se dividirá con la resistencia que es opuesta a la resistencia que deseamos convertir.

Obteniendo Ra

Siguiendo el algoritmo tendremos entonces que:

\displaystyle {{R}_{A}}=\frac{{{R}_{1}}{{R}_{2}}+{{R}_{1}}{{R}_{3}}+{{R}_{2}}{{R}_{3}}}{{{R}_{1}}}

El R1 abajo, es porque es la resistencia opuesta a la resistencia Ra

Obteniendo Rb

Hacemos lo mismo del paso uno, lo que más nos interesa saber es ver con que resistencia opuesta está relacionada, a simple hecho vemos que esa resistencia es R2. Entonces nuestra fórmula sería:

\displaystyle {{R}_{B}}=\frac{{{R}_{1}}{{R}_{2}}+{{R}_{1}}{{R}_{3}}+{{R}_{2}}{{R}_{3}}}{{{R}_{2}}}

Obteniendo Rc

Ya sabemos como es el algoritmo, entonces podemos inferir que para encontrar Rc, tendríamos que aplicar la siguiente fórmula.

\displaystyle {{R}_{C}}=\frac{{{R}_{1}}{{R}_{2}}+{{R}_{1}}{{R}_{3}}+{{R}_{2}}{{R}_{3}}}{{{R}_{3}}}

Conversión de Delta a Estrella Ejercicios Resueltos

Vemos entonces, si hemos captado el tipo de configuración de un sistema a otro, para ello veamos el siguiente ejemplo. 👇

Ejemplo 1.- Convierta el siguiente sistema de delta a una estrella

Solución: Recordemos la operación para obtener el valor de R1, R2 y R3.

Pero para entenderlo mejor, hagamos un bosquejo, de como serán los resultado al hacer las configuraciones.

Aplicando las fórmulas correspondientes, tenemos entonces que:

Para R1:

\displaystyle {{R}_{1}}=\frac{{{R}_{B}}{{R}_{C}}}{{{R}_{A}}+{{R}_{B}}+{{R}_{C}}}=\frac{(25\Omega )(12\Omega )}{25\Omega +40\Omega +12\Omega }=\frac{300{{\Omega }^{2}}}{77\Omega }=3.896\Omega

Para R2:

\displaystyle {{R}_{2}}=\frac{{{R}_{A}}{{R}_{C}}}{{{R}_{A}}+{{R}_{B}}+{{R}_{C}}}=\frac{(40\Omega )(12\Omega )}{77\Omega }=\frac{480{{\Omega }^{2}}}{77\Omega }=6.234\Omega

Para R3:

\displaystyle {{R}_{3}}=\frac{{{R}_{A}}{{R}_{B}}}{{{R}_{A}}+{{R}_{B}}+{{R}_{C}}}=\frac{(40\Omega )(25\Omega )}{77\Omega }=\frac{1000{{\Omega }^{2}}}{77\Omega }=12.987\Omega

Qué sería nuestra nueva conversión y habríamos resuelto el sistema de delta a estrella.

Ahora veamos el mismo procedimiento, pero al revés. Es decir, hagamos una conversión estrella a delta.

Conversión de Estrella a Delta Ejercicios Resueltos

Para iniciar un ejercicio sobre la conversión de estrella a delta, vamos a considerar el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.- Convierte el siguiente arreglo de estrella a configuración delta.

Solución: Sabemos que podemos trazarlo como el ejemplo anterior, para ver como establecer nuestra fórmula, entonces procedamos a realizar un bosquejo.

Aplicando nuestras fórmulas establecidas:

Para RA:

\displaystyle {{R}_{A}}=\frac{(50\Omega )(50\Omega )+(50\Omega )(50\Omega )+(50\Omega )(50\Omega )}{50\Omega }=150\Omega

De aquí podemos observar que como se tratan de resistencias iguales, es lógico que las demás nos proporcionen el mismo valor.

Para RB:

\displaystyle {{R}_{B}}=\frac{2700{{\Omega }^{2}}}{50\Omega }=150\Omega

Para RC:

\displaystyle {{R}_{B}}=\frac{2700{{\Omega }^{2}}}{50\Omega }=150\Omega

Con estos dos ejemplos, podemos aprender mucho sobre la base de las conversiones delta – estrella.

Conversión Delta-Estrella y Estrella-Delta
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